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数学解题认知模式下的数学解题的方法建设

作者:鸿运手机版登陆 更新时间:2015年10月26日 21:04:51

   当数学教学演变为大规模空洞的解题训练,数学教学对学生而言就成为一场灾难.“这种训练虽然可以提高形式推导的能力,但却不能导致真正的理解与深入的独立思考.”[1]为此,教师需要努力寻找典型的数学问题,通过对典型问题的剖析,熟练掌握常见的数学知识,深刻理解问题所表达的方法和思想,达到理解问题的核心,并能举一反三.本文以2013年杭州市高一年级教学质量数学测试第10题为例,结合数学解题认知模式来谈谈个人对数学解题教学的理解.
   
    一、数学解题认知模式[2]
    数学问题解决是解题者在自己的长时记忆中提取解题图式用于新的问题情境的过程.解决数学问题的认知过程为:问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控.关系如图1所示.
    解题认[鸿运手机版登陆专业提供代写数学教学论文和论文发表的服务,欢迎光临www. dylw.NET第一论文 网]知模式是一个系统.解答一个数学问题的基本要素有:数学理论、数学方法、数学语言和数学观念.它们静态地组成解题系统的外部资源要素(贮存在长时记忆中的资源),将这些资源用于解决待定的数学问题,就产生了解题系统中的内部行为要素,即问题表征、模式识别、解题迁移及解题监控等认知成分.外部要素与内部要素组成解题系统的基本要素,这是构成系统的基本前提.
   
    解题认知系统是一个循环系统.在解决一个数学问题时,解题者认知加工的各阶段必须与外部资源有信息流通的过程.譬如,在表征问题时,要在长时记忆中提取适宜的知识和策略与当前问题匹配,倘若提取的信息不能表征或不能合理地表征问题,那么这条信息会重新回到长时记忆中,然后再提取另外的信息表征问题,直到能找出正确表征问题的过程.显然,这是一个信息循环的过程(见图1中箭头指向).同样,在模式识别、解题迁移、解题监控等认知阶段,都要与长时记忆中的信息有循环交流过程,于是,解题系统就产生了内部要素和外部要素之间的循环系统.从内部要素看,四个要素也存在循环过程.譬如,在模式识别阶段,如果不能找到合适的模式与已表征的问题匹配,或者找到的模式不能用于磨合已表征的问题,那么需重新表征问题.又如,如果迁移不能产生或不能实现,那么可能会重新表征问题或重新选择模式.因而,内部要素也组成一个循环系统.
    解题认知系统是一个控制系统,解题监控贯穿于整个解题认知过程,对各个阶段进行监控和调节.这种调节具体表现在控制外部与内部的循环流、内部与内部的循环流的流速和循环流出现的频数方面.具有高监控能力的解题者,能加快循环流的流速,从而能使循环在单位时间内出现的频率更高.
    综上所述,解题认知模式是一种动态系统,这种动态系统能较好地解释解决数学问题的心理机制.
    二、数学解题认知模式下的案例解决方案
    因为求解函数H(x)在定义域[3,5]上的最小值比较容易,即.本文不再讨论,下面主要就函数H(x)的最大值进行探究.
    1.直接求解,按部就班——直接从问题表征字面理解出发解决问题
    问题的表征是无理函数值域问题,函数值域的求法是知识基础,用求导方法求函数值域是最基本的解题策略(长时记忆),由此思路导出该问题的通解.解题认知模式如图2所示.
   
   
   
    从理论上讲,利用导数求解函数值域问题是万能的做法.这也是我们在解题教学中最基本的一个层次,只要学生识别问题,就能按部就班进行解题,虽万能但并不是最佳的做法,因为这里还有如何控制计算量这一个困难.事实上这样的解题过程,解题迁移和监控基本没起作用,只是就题解题,解题效率较低,数学思维的质量不高.
    2.思想架桥,视通万里——对问题表征进行深层理解,增强学生理解问题的深度
    提高解题能力更多的是要求思维能力的提升,依靠题海战术很难完成这一目标.因此,教师在解题教学中应避免就题论题,应该选择具有拓宽思维能力,架通学习方法的习题,更有效地帮助学生发展深层理解力.学生的学习重心应该从记忆事实转移到理解可迁移的学习方法和对更为根本的知识结构进行深层理解,培养和发展思维能力.从这个角度来看,这道考题能较好地适应教师和学生的需求.
    问题表征中的无理函数值域问题(知识基础1)出现的,即“根号+根号”的结构,通过解题监控在学生的长时记忆中提取以往的解题经验,利用“配对”思想(知识基础2)构造方程(解题策略)也成了自然.整个解题的解题认知模式如图3所示.
   
    配对后得到方程组
   
    当然了,不同的解题者有不同的思考问题的角度,其完成问题表征的理解后在长时记忆中提取以往的解题经验肯定也有所不同.此问题也可以用数形结合(解题策略)来解决,解答过程如下.
   
    3.内涵深入,鞭辟入里——重新表征问题,实现解题迁移,提升学生解题境界
    具有高监控能力的解题者,发现找到的模式效率不高的时候,他还可以利用解题监控将问题进行重新表征,以试图通过效率更高的途径进行更有效的解题.
   
    通过解题监控重新表征问题是具有高监控能力解题者一个显著特征,这类解题者已经具备了非常高的解题境界.这也是我们在解题教学中追求的终极目标.
   
    三、解题教学反思
    通过对第二部分的分析,给我们提供了三种解决问题的模式.
    1+1=2模式 该模式最大的特点就是将解题程序化,缺少思维含量.在课堂教学中,大量的重复性训练会将学生变成解题的工具,学生在这个机械重复的过程中也无法体会数学的魅力,甚至会产生厌恶学习数学的情绪,这与我们数学的教育初衷相违背.
    1+1=?模式 该模式的特点是“遇新思陈、推陈出新”.波利亚曾说过:“无论是学数学的学生还是教数学的老师不能忽视正确地使用下面的建议:观察未知量!并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目.”[3]这种模式有利于培养数学逻辑思维,所以在课堂教学中要引导学生寻求新旧问题的连接点,诱导学生用长时记忆来进行待解决的模式识别,进行有效的问题迁移,从而发展学生的解题认知模式.
    1+1→?模式 该模式的最大特点是对数学本质有高度的理解.具备这样能力的学生,一定是有较高数学学习能力,并具备一定的数学科研能力.
    从教师的解题教学来讲,教师首先应该让学生掌握模式1这种基本技能,在此基础上选择一些变化的问题,让大部分学生掌握模式2培养学生的解题迁移能力,和满足小部分数学天赋较高学生对模式3的需求.波利亚也说过:“变化题目对我们的工作是必要的.”教师通过对变化的题目的讲解,让学生领略解题思维过程的奥妙:解题监控和解题迁移将题目中的元素分解和重组,或者通过重新表征题目,或者应用普遍化、特殊化和类比的丰富来源来变化题目,让题目转化成一个更容易处理的问题.有道是:会通法,但不一定用通法解题,心中有模式,但思维不要模式化.
    四、结束语
    不可否认,在实际教学中存在这么一种现象,有些教师在讲解过程中就题解题,学生完成大量机械重复训练,造成的结果是老师的教学能力没有得到提升,学生的解题能力也没得到提升,与课程改革的初衷背道而驰.因此教师首先要做出改变,在解题教学中一定要寻找和这道考题类似的问题,它“表述形式简洁、流畅、好懂”,与大量的数学重要知识有关联,“体现基础知识的联系性”,解题方法“自然、多样,具有自我生长的能力”[4].只有这样才能发挥学生的主体作用,通过学生大脑的思维活动把待解决的问题和学生的长时记忆之间产生有效的循环,并形成新的长时记忆,不断提高自己的解题能力.