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高中数学人教A版“直线的倾斜角与斜率”的案例分析

作者:鸿运手机版登陆 更新时间:2015年10月26日 21:04:51

  一、问题的提出
    课改以来,如何展开“直线的倾斜角与斜率”的教学,一直是广大一线教师关注的热点.有数据为证:各级各类中学数学杂志刊载的相关教学案例不下十则.纵观这些案例会发现:无论是践行新课程理念、深化概念教学,还是对一些备受争议的教学难点的处理,都做了积极的探索与大胆的实践,给我们的日常教学以较大的启示.但美[鸿运手机版登陆专业提供代写数学教学论文和论文发表的服务,欢迎光临www. dylw.NET第一论文 网]中不足的是,在注重“干什么”的同时,少了“为什么”的思辨与解释,尤其是缺少了“对话教材”这一十分重要的环节.为弥补这一不足,笔者将自己研读教材的成果呈现如下,以期为大家进行相关内容教学的再设计,提供一定的参考与帮助.
    二、准备
    那么,在走进教材之前,我们该做些什么准备呢?笔者认为,至少需做以下三方面的工作:(1)仔细阅读《普通高中数学课程标准(实验)》(下面简称“课标”).只有对“课标”要求了然于胸,教材的研读才能有的放矢.“课标”中关于“直线的倾斜角与斜率”的要求是:①在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素;②理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式;③在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想(下面简称“课标”①、“课标”②、“课标”③).(2)再读《全日制普通高级中学教科书第二册(上)》(下面简称大纲版)中“直线的倾斜角与斜率”的内容,目的是,在比较中找“变化”,以“变化”为切入点,去思考“为什么”,使得教材的研读可操作、可量化、更有针对性.(3)全方位了解在学习相关内容之前,学生的知识储备和认知基础.例如,教材是借“坡度”概念来生成直线的斜率概念,那么,学生对“坡度”概念熟悉吗?熟悉到何种程度?这要求我们对初中数学教材也要有相当的了解,当然,和学生进行必要的交流与沟通是最有效的.
    三、研读教材
    这里,需先说明两点:(1)为突出重点,不再拘泥于教材内容的编写顺序,而是将重心落在概念、相同栏目与板块的分类研读上.(2)适度对接相关案例中存在的一些误区,做必要的剖析与反思.
    1.倾斜角的定义
    关于直线的倾斜角,大纲版的定义是:“在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.”而课标版(人教A版《数学2》)的定义是:“当直线l与x轴相交时,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.”有教师认为,课标版如此定义实属“无奈”之举,因为在此前的教材内容中还未介绍任意角的概念.对此,笔者并不认同,理由是:(1)大纲版定义中,不光前面描述的“逆时针方向旋转”与后面的“正角”有语义重复之嫌,且整个叙述因不够简洁、抽象程度高,而难以理解、记忆困难;(2)课标版定义中,只给出角的两边,没有具体说明是怎样的角,看似不够严密,实乃恰到好处.因为完全符合数学中表示几何背景下的“角”的习惯:能用小的就不用大的,能用正的就不用负的.同样,在此前的教材中,空间的三个“角”也是这样处理的:异面直线与线面所成的角,都是用两条相交直线所成角的较小角来表示;二面角的平面角,教材根本没有指出它是什么范围的角,因为大家都默认了它是一个锐角、直角或钝角.因此,当直线与x轴平行时,教材就十分自然地定义它的倾斜角为0°而不是180°.当然,像这种属于常识性的数学知识,教师可做适当的说明性讲解,让学生明白背后的道理:力求简单、实用、便于计算的原则.总之,课标版就倾斜角的定义是简洁、自然、清楚的,有利于学生的理解与记忆.因此,文献[1]中将课标版定义中“所成的角”修改为“所成的最小正角”是没有必要的.
    2.斜率概念的生成
    与大纲版直接抛出斜率概念不同,课标版可以说是做了浓墨重彩的描述,突出了概念的生成过程(课标版教材第83页).表现在:首先,呈现了日常生活中,表示倾斜面的“坡度”概念,并给出直观解释,如图所示.目的是唤醒学生头脑中已有的坡度知识(初中教材“锐角三角函数”一节中有坡度概念,且配置了相应的习题),从而十分自然地类比坡度来引入斜率概念;上图也为推导两点的直线斜率公式做了必要的铺垫.其次,在揭示“坡角”“坡度”这两个描述倾斜程度的量的意义及其关系上,类比“坡度是升高量与前进量的比值,即为坡角的正切值”,引进一个量:直线倾斜角α的正切值k=tanα(α≠90°),给出斜率概念.最后,教材通过比较直线的倾斜角与斜率的各自特点,让学生明白:倾斜角与斜率分别从几何与代数两个角度刻画了直线的倾斜程度,斜率是一个数量,与频率、比率等类似,斜率中的“率”是指两个相关量的比值;由于0°≤α<180°,所以是可以取任意实数;给定一条直线,倾斜角唯一确定,但斜率要分α≠90°和α=90°两种情况;等等.突出的是:斜率是对直线倾斜程度的代数刻画,是解析几何的本质。至此,可以清楚地看出,教材借斜率概念的生成在告诉我们:“数学教学要‘讲背景,讲思想,讲应用’,概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程.由于‘数学能力就是以数学概括为基础的能力’,因此重视数学概念的概括过程对发展学生的数学能力具有基本的重要性.”[2]
   
    3.斜率公式
    课标教材在第84页介绍了斜率公式的推导,其思路是:先呈现直线的方向向上时的情形,采用过点、分别作两坐标轴的平行线,构造直角三角形来完成.从表面看,此方法不及大纲版用向量来推导显得简洁,但细加研究会揣摩出编者的两个独特意图:一是直角三角形的构造学生容易想到(受图形的启发),更重要的是为后续内容的学习,留下了“伏笔”.因为两点间的距离公式及点到直线的距离公式的推导,恰恰都是利用了此直角三角形.这样看来,虽然说点到直线的距离公式推导方法很多,但教材中的方法不仅最为简洁,而且容易为学生所想到(基于学生的最近发展区).二是再次让学生体会数形结合的思想方法,经历“从几何到代数”的转化过程,认识坐标系的工具作用.当的方向向上时,教材只呈现了相应的图形,省略了具体的推导过程.意图是让学生再独立完成公式的推导,巩固所学的方法,更重要的是,能从中体会到:直线的斜率是客观存在的一个“量”,与直线上两点的位置及坐标无关.
    4.四个思考题
    教材共设置了四道思考题,设置思考题可谓是课标教材的一大亮点,其功能和作用是:引领我们更好地解读教材,从中提炼和概括有效的问题.第一个思考题是:“对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置由哪些条件确定呢?”这其实是“课标”①的具体化,从中可提炼出下列两个问题:
    问题1:经过一点P的直线有无数条,怎样借助直角坐标系把它们区分开来?
    意图:让学生感受引入倾斜角的必要性;突出坐标系的作用.
    问题2:用直线与x轴所形成的角作区分标准比较符合我们的习惯.但这里有四个角,取哪个角呢?
    意图:让学生了解如何从坐标轴的“基准”作用出发思考问题、做出选择.
    第二个思考题是:“日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?”意图是唤醒学生头脑中的坡度知识,类比坡度引入斜率概念.
    后两道思考题都是围绕斜率公式来设置的,主要是让学生剖析公式的特点和使用条件.
    总之,对教材中的思考题,一定要仔细琢磨,真正弄清其目的与任务,只有这样,在具体教学时,才能结合相关内容将其细化,设计出合理、有效的问题串.
    5.例题与练习
    大纲版、课标版均配置了两道例题,但有不小差别.前者兼顾了直线的倾斜角与斜率两个概念的巩固与运用,后者则侧重于斜率概念的理解,旨在更好地落实“课标”②的要求,凸现斜率作为核心概念的地位.课标教材例1的意图是:会用斜率公式求直线的斜率,并依据其正负判断倾斜角是锐角或钝角.例2则更加精妙,表现在:通过逆向思维,再找出位于直线上的一点使其满足已知斜率,而画直线的过程是数形结合的过程,有利于进一步理解直线的斜率公式(斜率与直线上点的位置无关),也为后续教学直线的点斜式方程埋下伏笔.
    教材中的练习题有4道,其中的2道是大纲版中的保留题目,另2道与例题完全类似,不再分析.而值得关注的是:大纲版中另2道练习被弃用究竟是何原因?从中是否能帮助我们更好地理解课标教材的编写理念?一道是利用正切函数的性质,讨论直线的倾斜角与斜率的变化关系.删掉的意图是适度淡化倾斜角与斜率内在联系的辨析,将应用的重点落在斜率概念的理解、巩固与深化上.另一道是用斜率相等证三点共线.删掉的意图是基于后续内容的重新编排.大纲版的编排是:直线的倾斜角与斜率—方程—两直线的位置关系,即通过一步到位由直线的方程研究两直线的位置关系;课标版的编排是:直线的倾斜角与斜率—两直线的位置关系—方程—两直线的位置关系,即分两步,从斜率和方程两个角度研究直线的位置关系,并且将三点共线的问题作为两直线平行的特例来处理.应该说课标教材的处理显得更大气与厚重,能更好地体现“课标”③的要求,即突出解析几何的本质(核心思想)——用代数方法研究几何问题.因此,文献[3]中依然将上述练习做补充例题来使用是欠妥当的.
    四、一点感想
    记得在一次教师90学时的培训会上,笔者应邀作了题为“要舍得在理解教材上下工夫”(用案例呈现解读教材的成果)的报告.会后,不少教师都感叹:教材就这么简单,怎么能研究出这么多的东西?主持会议的教研员就一针见血地指出:“因为在你们眼里,教材只是工具而已,大部分时间几乎是束之高阁,只有当发生争议的时候,才想到去查阅教材、寻找依据.看来,真的到了端正态度、用心去研读教材的时候了.否则,我们的课堂立意就无法上去,有效教学也只是一句空话.”总之,面对教材,笔者始终坚持这样一个观点:以尊重的态度、欣赏的眼光、脚踏实地的精神去亲近、理解、钻研它,唯有如此,哪怕是一个概念、公式、定理,或者是一个旁注、思考题、习题等,都能解读出别样的东西,感觉如品醇酒、回味无穷.如果将其付诸文字,便是一篇篇有价值的论文,可参见文献[4]~[8]等,同时会发现无论是自身的课堂教学,还是教研能力,正悄然发生着改变……