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数形转化易理解,结合运用促提升

作者:鸿运手机版登陆 更新时间:2015年10月26日 21:04:51

 初中数学是学生数学学习的转型阶段:这一阶段,学生思维能力迅速发展,思维模式开始转型,抽象思维能力大大增强;与此对应,初中数学几何概念开始大量引入,与代数知识共同撑起初中数学的知识王国. 在经过一定阶段的学习之后,初中数学代数、几何知识开始杂糅,并化身为各类题型出现在学生面前. 这类题型因为综合性强,对学生的思维转化能力和数学观察能力要求较高,许多学生对其常常无计可施,因此,引导学生熟悉数形转化关系、培养数形结合能力成为许多教师关注的重要课题. 笔者总结多年数学一线工作经验,认为要进行初中数学数形结合有效教学,可从以下三方面入手.
  ■ 数转形,化繁为简帮助直观理解
  数是数学中最基础的概念,学生从学前就开始接触大量的数. 而到了初中阶段,数、实数等代数概念开始进入学生视野,这时学生所学习的数就变得复杂和抽象. 这些从直观数字现象高度抽象概括的数学概念,对于初中生而言,是一个不小的挑战. 在概念的具体化和运算化的过程中,学生常常出现审错题、会错意、算错数的情况. 要有效解决这样的情况,需要教师充分引导学生进行数转形的训练:我们知道,图形是直观的、清晰的、易于理解的,将代数概念中的数学关系利用图形来表示,可以为学生的数学思维转化提供一个良好的载体,化繁为简,提高学生的解题效率. 不过值得指出的是,在数转形的教学引导中,教师应注意两个问题:其一,并不是所有的代数题都需要数转形,教师要帮助学生区分何时该数转形,何时可以直接用数学思维求得答案. 而一味地进行数转形,不加辨别,同样不利于数学学习和发展. 其二,在“数”转“形”的过程中,根据题型不同,所进行的转化也是不一样的,错误的数转形运算,不仅不能促进问题解决,反而会对原有解题思路造成破坏性影响. 因此,引导学生合理选择转化对象和方式,同样是每位教师需要关注的.
  例如,教学苏教版初中数学八年级下册“一元一次不等式”时,笔者在黑板上给出了这样一道不等式组:
  3x-2≥x+3,2x-3≤x+4,
  让学生进行解答. 学生刚接触不等式,对于不等式的知识点还不是很熟悉,对于不等式组的解答更是缺乏概念,不一会儿就有学生举手问:“老师,这道题会不会出错了,x一下子大于等于,一下子小于等于,该怎么做呢?”显然,学生还不能理解不等式组解得的是一段数字区间这个数学概念,此时教师如果直接告诉学生:“同学们,你们求得的答案x≥■且x≤7就是答案,将二者组合一下,即■≤x≤7就行了”,笔者认为学生同样可以通过模仿和记忆,掌握这个做法,但学生是否理解不等式组所得答案的概念就不得而知了. 因此,笔者在黑板上画出数轴,将x≥■和x≤7的区间标注出来,画出重合部分,并引导学生:“如果小红要吃至少■颗糖果,小青最多吃不超过7颗糖,那给多少糖果可以让他们两个都满意呢?”学生看着黑板思考,笔者画出数轴上重合的部分:“这些就是所有可以让她们都满意的糖果数. 在这个范围里的数都符合题意. ”通过这样画数轴进行数转形,可以帮助学生化难为易,理解题意,解决部分代数题难以用语言清楚解析的问题.
  ■ 形化数,抽丝剥缕促进数据提取
  几何是将具体数量关系进行抽象化之后,再具化表现的结果. 初中数学的几何问题以平面几何为主,如何在二维平面中有效提取数量关系,并进行解答,是我们数形结合教学的重要目标之一. 初中生在形化数过程中可能碰到这些问题:对于图形性质不了解,无法通过图形性质获得数量信息;对于图形中隐藏的条件,缺乏辨知能力,无法从图形中有效提取隐藏数据完成运算. 针对这样的问题,教师在教学过程中,要有效引导学生理解图形性质、掌握图形定理,在理解的基础上识记;要引导学生通过图形转化、构图法等方式,获取隐藏在图形中的数字密码,抽丝剥缕,提取对解题有益的数据.
  例如,教学苏教版初中数学九年级下册“锐角三角函数”时,笔者出了这样一道题:“已知△ABC是等腰三角形,点D是底边BC的中点,连结AD,已知∠BAD=30°,CD=3,求△ABC的周长. ”这道题目是典型的几何类数量运算题,学生需要画图,并从图形中提取有效信息进行解答. 而根据学生形化数能力的不同,解决问题的方法也不尽相同. 像形化数能力一般的学生,可能会这样解答:“因为点D是BC的中点,CD=3,所以BD=3. 又因为∠BAD=30°,所以通过解三角函数,分别可以求出AD和AB的长度. 又因为△ABC是等腰三角形,BC是底边,所以AB=AC,最终求出答案. ”这样的方法并没有错,但是因为形化数能力不强,不能从图形中提取最有效的数据,导致计算过程复杂、烦琐,影响解题效率. 对于形化数能力强的学生,当他们看到“△ABC是等腰三角形且D是底边BC的中点时,就知道根据等腰三角形三线合一的性质,AD既是中线也是角平分线. 因为∠BAD=30°,所以∠B=60°. 由此可以推出△ABC是等边三角形. 又因为点D是BC的中点,CD=3,所以BC=6. 最后△ABC的周长就能轻松求出了.”可见,“形”化“数”能力的培养,对于学生数学综合能力的提高具有重要意义;而形化数能力培养的关键是学生对于图形的理解和掌握程度,所以教师应加强这方面的引导,推动初中数形结合教学的深入开展.
  ■ 数形合,相互转化提高数学能力
  无论是数转形的引导,抑或是形转数的教学,最终的目的都是提升学生的数形结合能力. 数学本身就是一个数量和图形紧密相连、相互依存的学科,著名数学家华罗庚就曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微. ”可见数形从来不可分割,它们是同一整体的不同方面,数形结合能力是学好数学的基础能力. 初中数学几何知识概念引入之后,我们才真正开始抽象化、概念化数学知识,而之后的程度将会不断加深,因此,在这一阶段培养好学生的数形结合能力是十分有益且非常必要的. 初中数学数形结合,多以数转形和形化数题型为主,数形多次结合、不断转化的题型虽然不多,但十分重要. 尤其是二次函数的相关知识引入之后,对学生的能力提出了较高的要求;同时这些知识对于学生之后的数学学习意义重大,教师应该十分重视,认真引导.
  例如,笔者在“二次函数”的教学中出了这样一道题:直线l过x轴上的点C(4,
  0),与一条抛物线y=ax2相交于A,B两点,已知A的坐标为(2,2),求直线和抛物线的解析式. 学生阅读完题目之后,首先必须根据题目所给条件,进行数形转化,画出对应的图形. 这一步十分关键,图形的准确与否,直接关系到之后解题的正确性,这里要特别注意引导学生确定抛物线的开口方向以及直线的位置. 之后笔者引导学生观察画出的图形,由图形就能清楚地看到A和C是直线l上的两个点,之后再引入直线解析式公式y=kx+b,进而求出l的解析式为y=-x+4,又由图形可以看出抛物线经过坐标A(2,2),从而求出a的值,最后确定抛物线的解析式. 这是一道比较简单的数形结合题,但从中我们可以发现,数形结合教学的基础是学生是否准确掌握数和形的基本概念、公式、定理,教师进行数形结合教学首先要指导学生学好基础知识,在基础上提高,掌握数形结合解题能力.