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任意角的三角函数的教学设计的方式分析

作者:鸿运手机版登陆 更新时间:2015年10月26日 21:04:51

钮兆岭,江苏淮阴市师院附属中学(223001).


    一、教材分析
    (一)教学内容
    G312X163.jpg
    (二)地位和作用
    任意角的三角函数是三角学内容的基础,是后继内容学习的思维起点,是整个三角学认知结构的G312X164.jpg.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要,又是坐标思想、数形结合思想、运动变化观念渗透的载体,更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突,不同思维的碰撞,易激发学生思维的积极性,有助于探索、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函数的定义是学生认识上的一次突破和飞跃,也是体悟特殊与一般辩证思维的良好素材.
    二、学情分析
    学生在初中学过的锐角三角函数是以锐角为自变量,相应边的比值为因变量的函数,这是学生学习任意角的三角函数知识的基础和依据,但学生必须面临由特殊到一般的认知过程,必须经历由直角三角形对应边的比值到直角坐标系中坐标与距离比值的转换.当学生在原有认知结构中具备同化新概念的适当观念,具备有意义学习的心向后,更容易激发学生学习的热情,催生创造性思维.当新概念产生后,如何用函数的观念认识理解新概念,把新概念纳入到一般函数的结构之中,既是认识过程中的一道坎,又是认知的一次升华.
    三、教学目标
    (一)知识与技能
    掌握任意角的三角函数的定义,会判断任意角的三角函数的符号,在形成定义的过程中领悟坐标法的优越性,加深对函数概念的理解.
    (二)过程与方法
    引进坐标思想,建立(x,y)与(r,a)之间的关系;通过联想锐角三角函数的定义,思考如何定义任意角的三角函数;理解锐角三角函数是任意角三角函数的特例;通过对比值符号的确定,培养学生掌握、利用规律解决问题的意识.
    (三)情感态度、价值观
    培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展,体会知识之间的内在联系,感悟知识的整体性.通过合作交流,培养主动探究新知识的能力.
    四、重点、难点
    (一)重点
    1.对任意角的三角函数定义的理解;
    2.正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的确定.
    (二)难点
    用一般函数的概念理解任意角三角函数的定义.
    五、教法、教具
    (一)教法
    本课采用“引导—探究式”教学方法,将问题以问题串的形式展现,让学生在愤悱中形成认知冲突,体会、感悟数学研究的一般思路和方法.
    (二)教具
    投影仪,多媒体课件.
    六、教学过程
    (一)概念的引入
    问题1 在初中,我们已经学习过锐角三角函数的定义,请回忆在Rt△OMP(∠M=90°)中(如图1):
    G312X165.jpg
    sinα=____,cosα=____,tanα=____,它们是以什么量作为自变量,什么量作为因变量的?
    问题2 引入弧度制以后,自变量α在什么范围内变化?sinα,cosα,tanα是两条线段的比值,这些比值在什么范围内变化?
    设计意图:以锐角三角函数的定义为起点,以高中函数定义的三要素为依托,将锐角三角函数融入学生已有的函数知识结构中,容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然.
    问题3 锐角三角函数的定义域是锐角,当∠α变为钝角时,“∠α的对边,邻边”这些说法还存在吗?此时∠α的三角函数又该如何定义呢?
    设计意图:利用∠α的变化作为思维的切入点,打破学生已有的认知结构的平衡,感受学习新知识的必要性——角的范围扩大了,锐角三角函数的定义也应该与时俱进,这有利于将探究的主动权交给学生.
    (二)概念的形成
    问题4 我们曾研究过多种函数的性质,请回忆:在研究函数的性质时,通常是借助什么工具来实现的?
    设计意图:依托学生已有的经验,启发学生联想,触发学生的灵感,形成用坐标法解决问题的心向.
    问题5 如果让你把图1中的直角∠OMP放置于直角坐标系中(或利用图1建立直角坐标系),怎样放置比较合适?
    设计意图:数学实验是数学学习所必需的.或许不同的学生会有不同的方法,但对通过点P的坐标表示的讨论,可以让学生在选优的过程中达成共识(如图2).
    G312X166.jpg
    G312X167.jpg
    问题7 如果将∠α从锐角变为钝角(如图3),你能给钝角三角函数下一个定义吗?如果将∠α由钝角变为任意角,你能给任意角的三角函数下一个定义吗?
    G312X168.jpg
    设计意图:利用类比、迁移的认知规律,学生容易给出任意角的三角函数的定义.潜在的意图是:让学生认识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例,任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸.
    (三)概念的理解
    问题8 任意角α的三角函数值与什么量有关?与什么量无关?
    G312X169.jpg
    问题10 当∠α的终边与坐标轴重合时,α的三角函数值还能求出来吗?为什么?
    设计意图:让学生明白,∠α的终边不论落在什么位置,sinα,cosα总有意义,即α为任意实数.而当∠α的终边落在y轴上时,tanα就没有意义,即G312X170.jpg.并让学生感悟坐标法定义三角函数的优越性.
    问题11 当α为锐角时,sinα,cosα,tanα 的值为正,当α的终边落在第二、三、四象限时,sinα,cosα,tanα的值分别取什么符号?为什么?
    设计意图:让学生再次通过回忆任意角的三角函数的定义,明确sinα,cosα,tanα的符号由α终边上的点P(x,y)中的x,y的符号决定(r>0).
    问题12 你认为利用任意角的三角函数的定义可以解决哪些问题?
    设计意图:利用学生对函数研究的已有经验“定义——图象——性质”,对后面的学习有一个大概的了解,让学生有“未见树木,先见森林”之感,从而增强学习的自信心.
    (四)概念的应用
    问题13 已知角α的终边经过点P(2,-3),求角α的正弦、余弦、正切值.
    问题14 确定下列三角函数值的符号:
    G312X171.jpg
    问题15 设sinθ<0且tanθ>0,确定θ是第几象限的角.
    设计意图:三道例题紧紧围绕任意角的三角函数的定义以及三角函数值的符号展开,让学生熟悉定义的应用和符号的确定.
    (五)总结反思
    问题16 (1)本节课主要学习了哪些知识?它与旧知识有什么联系和区别?
    (2)本节课涉及了哪些数学思想方法?
    (3)你在学习中有哪些感受和体会?
    设计意图:问题(1)是小结的重点,让学生回忆所学内容,体悟所学新知识是前面所学知识的延展,也是后继知识学习的起点.问题(2)的设计让学生体会数形结合、坐标法是数学问题的方法和策略,是数学的精髓.这些思想和方法只有在学习过程中不断浸润,才能提高数学思维能力.问题(3)的设计具有开放性,体现个性化,不同的认知水平、不同的学习经历会得到不同的感受.不管处于何种水平,只要坚持反思总结,就会促进认知能力和认知水平的提高.
    七、教学设计的思考
    现代教学论研究指出:从本质上讲,感知不是学习产生的根本原因(尽管学习需要感知),产生学习的根本原因是“问题”,没有“问题”就难以诱发和激起求知欲,没有“问题”就感觉不到问题的存在,学生也就不会作深入思考,那么学习也就只能是浮于表面或流于形式.有鉴于此,笔者将本节课设计成问题串,通过递进式的问题诱发、引导,让学生产生认知需求,享受在领悟、感知中探求新方法和学习新知识的乐趣.
    本节课的设计由旧知识导入,抛出如何求钝角三角函数值的问题,引起学生认知上的冲突.旧知识用不上,新知识未产生,探寻新的方法已成为必然.如何从已有的锐角三角函数的定义中获得启示,从已学过的方法中寻得出路,有效的点拨引导是关键.将直角三角形放到坐标系中思考,找出(x,y)与(r,α)之间的关系是问题解决的突破口.以同化的认知规律,引导学生进行创新思维,让学生经历由特殊到一般,再由一般到特殊的认知过程,让学生在数学活动中认识坐标法定义任意角的三角函数的优越性.著名的教育家乌申斯基认为:“比较是一切理解和思维的基础,我们正是通过比较来了解世界上的一切的.”任意角的三角函数的定义得出后,问题7的设计让学生在新旧概念的比较中揭示两种定义的联系和区别,突出新定义的优越性和合理性.通过问题8~11的讨论和思考,让学生进一步理解定义并达到深化的目的.
    教学设计是教师对教学内容的思考与谋划.在教学设计过程中如何关注学生的发展,如何在学生的认知水平的“最近发展区”内设计出有思维价值的问题,让不同层次的学生有思考、有感悟、有兴趣,这些都考量着设计者的教学理念、教学思想和教学智慧.教学设计的过程是一个探索的过程,是一个不断学习、不断实践的过程,同时也是一个常常留有遗憾的过程.唯有准确把握学情,不断学习,不断反思总结,才能设计出符合学生认知水平、调动学生参与积极性、激发学生学习热情、开发学生智力的经典课案