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学科教育视野中的数学的创新路径

作者:鸿运手机版登陆 更新时间:2015年10月26日 21:04:51

曹培英,上海市静安区教育学院.


    开头的话
    在“小学数学教师本体性知识培训”中,组织者要求笔者首先专题讨论数学的特点,本人欣然应允.
    一般认为:数学教学涉及的数学知识,随年级升高而增长;数学教学应用的教育知识,则相反,随年级降低而增长.也就是说,小学数学教学所用到数学知识并不多,主要是教育知识.既然如此,为什么还要专题讨论数学的特点?其中一个非常重要的理由,是因为“现有的研究一致地表明:‘教师的数学观’对于其如何进行教学有着十分重要的影响.”
    就连推崇学科教学知识的学者也有类似的见解.例如,舒尔曼学科教学知识理论的继承者P. L.格罗斯曼,将学科教学知识解析为四部分,其中第一部分即一门学科的统领性观点(关于学科性质的知识和最有学习价值的知识),她认为这种统领性观念也反映在教师教授某一具体课题的教学目标之中.
    事实上,相当一部分教师从未认真审视过自己的数学观,但每个教师又总是在一定的数学观念支配下从事着数学教学活动,只是自己的数学观处在自发的、尚未自觉意识的模糊、混沌状态.
    正是为了清晰“教师的数学观”、“学科的统领性观点”,我们展开以下讨论.这方面的内容,属于元知识的一部分,渗透着隐含的认识论与本体论,难免抽象,但笔者将努力丰富它的感性成分与趣味性.
    一、数学是什么
    一位教师在他的博客中写道:今天我问学生“数学是什么?”只有一位学生举手回答.为什么学了六年数学,却不知数学是什么?他们不敢说,拿不准?由此反思,我们给学生头脑中留下了什么样的数学痕迹呢?
    一位母亲留言:叫我说,数学是头疼.小学时,碰到应用题,我立马头脑发胀,直到现在,拿起女儿的数学书,还心有余悸,好在初中学了解方程,才让我的数学恐惧症消失了.
    遗憾的是,有些人,也包括一些名人,始终难以摆脱数学的恐怖阴影.例如,崔永元在他的《不过如此》中写道:“对我来说,数学是疮疤,数学是泪痕,数学是老寒腿,数学是类风湿,数学是股骨头坏死,数学是心肌缺血,数学是中风……当数学是灾难时,它什么都是,就不是数学.”竟然有人如此痛恨数学,值得我们数学教师深刻反省!
    “数学是什么?”数学教师会怎样回答?好像清楚,好像又说不清楚,需要回答吗?
    南京大学哲学系郑毓信教授认为:在学校环境中,大多数人开始形成自己的“数学观念”,而且在大多数情况下,这些观念在他们以后的生涯中一直得到保持.现行数学教育的一个重要弊端就在于:学校通过数学学习所形成的数学观并不是“真正数学”的真实写照.也就是说,就今天的现实而言,“学校的数学”并不是“真正的数学”.
    从笔者长期深入小学数学课堂的观察所见所闻来看,郑教授的估价并非耸人听闻.为使学校的数学教育真正反映数学的本来面目,每一个数学教师都必须思考“数学是什么?”
    那么,数学家又是怎样回答这个问题的呢?
    一百个数学家有一百种回答.
    历史上,古希腊数学家信奉“万物皆数说”,例如毕达哥拉斯认为:“数统治着宇宙”;柏拉图称“上帝乃几何学家”,他在自己学院门上写着:“不懂几何学的人不得入内”.
    早期数学家的另一种典型的认识是“哲学说”,例如罗素认为:“为了创造一种健康的哲学,你应该……成为一个好数学家.”事实上欧几里得《几何原本》中的定义具有明显的哲学味,如“点是没有部分的那种东西”,“线是没有宽度的长度”,……
    此外,偏重于人文的数学观还有创新说、直觉说、活动说、精神说、审美说、艺术说,等等.有的数学家甚至把数学等同于音乐,认为“数学是推理的音乐”,“音乐是形象的数学”.
    偏重于理性的数学观一是“科学说”,如高斯的名言“数学是科学的皇后”,形象地表达了数学是所有学科共同的重要基础的意思.二是“技术说”,支持这一观点的强有力论点是高科技本质上都是数学技术,因为高科技需要计算机控制,而实现计算机控制的第一步就是数学建模.
    偏重于理性的数学观还有工具说、逻辑说、符号说、集合说、结构说、模型说,等等.
    二、学科教育视野中的数学
    数学教师应当怎样认识数学,上海市中小学数学课程标准给出的描述是:
    “数学是研究数量关系和空间形式的科学.随着社会的进步和数学自身的进展,特别是在信息技术的推动下,数学的研究领域、研究方式、应用范围等得到了空前的拓展.数学提供了刻画自然规律、社会规律的科学语言和数量模型,提供了处理数据和观测资料、进行推断和证明的有效工具,它不仅对科学技术的进步发挥着基础理论和基础应用的重要作用,而且已成为一种普遍适用的技术,直接为社会创造价值.
    数学是现代文化的重要组成部分,它的内容、思想、方法和语言已经广泛渗入人们的日常工作和生活中,影响着人们的思维方式,推动社会文化的进步;数学作为人们认识世界、从事工作和学习的必需工具,作为一种传递信息的强有力手段和人际交流的简明语言,对社会大众有着非常重要的意义.数学素养是现代公民必备的一种基本素养.”
    从这两段描述里可以提炼出关于数学的三个核心词:“数学科学”、“数学技术”、“数学文化”.
    其中“数学是研究数量关系和空间形式的科学”,源于恩格斯给数学科学下的定义.随着现代数学向抽象、多元、高维发展,数学的研究对象越来越广泛,与现实之间的距离也越来越远,在数学的某些分支中,比如数理逻辑,既没有数也没有形,于是人们又认为数学是研究抽象结构、模式的理论.尽管如此,恩格斯的定义仍然是经典的,因为它反映了数学的来源,即使在目前也概括了数学的大部分,尤其适合初等数学.
    关于数学技术与数学文化,上面这段话侧重从当下的视角作了比较具体的描述.还需要补充的是数学文化的历史视角.
    数学从它最初的形成开始,其活动就具有社会性,它伴随人类文明发展的历史进程,从农耕文明(以锄头为代表),到工业文明(以大机器为代表),再到信息文明(以计算机为代表),数学的作用一次比一次明显.数学这一“人类悟性的创造物”,一直是人类认识自然、适应和改造自然、完善自我、完善社会的一种高度智慧的结晶.反过来,数学对人类的思维方式、语言表达也都产生了关键性的影响.
    数学科学、数学技术、数学文化对于学生来说,则意味着数学是基础、是工具、是能力、是素养.
    下面,仅就作为科学语言的数学语言再谈点认识.
    一般认为,如同音乐语言一样,数学语言也是全人类共同的语言.不用翻译,不同地域、不同民族的人都能看懂.确实,写下“1+2=3”,无论何种肤色,都能明白.
    研究表明,在中小学数学教育中,数学语言有三种表现形态.即文字语言、图形语言、符号语言.以乘法分配律为例.
    用文字语言表达:两个数的和与一个数相乘,等于两个数分别与这个数相乘,再把两个积相加.
    这么长一串话,“两个数”、“一个数”、“这个数”,到底谁与谁相乘却陈述得并不十分清楚.不理解的人读了也白读.
    用图形语言表达:如下图.
    G392W801.jpg
    这是乘法分配律比较常见的一种几何模型,知道长方形的面积计算公式的人都看得懂,但它的局限性在于只能揭示非负数的乘法运算规律,因为长度、面积都不可能是负值.
    用符号语言表达:(a+b)c=ac+bc
    不仅非常简练,而且足够准确,谁与谁相乘,再怎样相加,一目了然,同时三个字母可以表示一切实数.这还只是符号语言所具有优势的一小部分.
    显然,尽管数形结合是数学的重要思想方法,图形语言在数学研究的众多领域内甚至是不可或缺的,但真正的数学语言还是符号语言,只是因为小学生的年龄特征,使得他们需要文字语言、图形语言的支撑,待他们逐步接触、学习抽象的符号,就能掌握真正的数学语言.
    数学发展到今天,已成为一个符号化的世界,数学符号的抽象性常常使不解其义的人,视为“天书”,望而生畏.然而,不少数学符号,如果能够联系历史上首创者的本意,又会让人感悟到符号内涵的灵气,平添一种亲近感.就拿四则运算的符号来说,加号“+”最初表示“过剩”,用来作为加号意在通过一横添上一竖,表示“-”与“丨”合并起来的意思.减号则是从“+”里拿走一竖表示去掉、剩下的意思.考虑到乘法是特殊的加法即“同数连加”,所以奥特雷德把前人使用的“+”转动45°成“×”表示特殊的加.可见,只要在引入运算符号时“添上一竖”、“拿走一竖”、“转动45°”,就能非常生动、形象地凭借符号本身揭示运算的含义.事实上,很多抽象的数学符号,如同象形文字.这样的人文内涵不加开发、利用,实在是非常可惜的.实践表明,教学加、减、乘时介绍了三个运算符号的来历与原义,到教学除法时,小学生一般都会自己解释除号“÷”的含义:“中间一横表示平均分,上下各一点,表示每份一样多”.
    新一轮课改以来,数学文化得到了关注,比较常见的除了穿插数学史料的介绍之外,还有古代名言、名句的引用.例如教学圆的认识,如果给出圆的定义“到定点的距离等于定长的点的轨迹”,小学生是很难理解的,因为其中不仅用到“定点”、“定长”两个概念,还涉及“动点到定点的距离”与“动点的轨迹”这样两个更为抽象的概念.当然,如此定义,便于数形结合,对圆展开深入的解析研究,但这样的数学语言,会令大多数小学生感到费解.如果用纯粹的中国话描述,则四个字“一中同长”足以概括,而且不用解释小学生也能理解.汉语的魅力可见一斑!
    事实是,汉语的读与写,几乎天天都在默默地为我们提供学习数学的便利,对此认识不足、利用缺乏自觉,实在是非常可惜的.
    对于数学教师来说,我们的数学观还应当摆脱“静态数学观”的某些局限性,确立“动态的数学观”.前者认为数学是无可怀疑的、确定的真理的集合,后者认为数学的确定性是相对的、有条件的,数学是一种探索活动,是一种包含猜测与问题、尝试与错误、证明与反驳、检验与改进的过程,因此数学也具有形象性、似真性、拟经验性,或者说数学兼有演绎科学和经验科学两种特性.
    显然,动态的数学观的内涵具有鲜明的教育意义,它强调数学的活动过程,更加重视观察、实验、比较、联想、分析、类比、归纳等思维过程的作用.这些,恰恰正是数学课程与教学改革所追求的.
    三、数学的三大特点
    比较普遍的看法是,数学有高度的抽象性、严谨性和广泛的应用性三大特点.就如前苏联数学家A. D.亚历山大洛夫所说:“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点:第一是它的抽象性,第二是精确性,或者更好地说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性,第三是它的应用的极端广泛性.”
    1.抽象性
    所谓抽象就是在思想中分离、提取出事物的一些属性和联系,撇开另一些属性和联系的过程.抽象有助于研究者撇开各种次要的影响,抽取事物最主要的、本质的特征并在“纯粹的”形式中单独加以考察.
    任何学科的理论都具有抽象性,数学抽象性的与众不同在于,它撇开了事物的具体内容,纯粹研究事物的数量关系和空间形式.
    试举一例.18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城,有一条河流经该城,河上有两个小岛,共有7座桥横跨河上,把全城连接起来.当地居民热衷于一个有趣的消遣难题:是否存在一条路线,可以不重复地一次走遍七座桥?很多人对此感兴趣,纷纷进行试验,但始终未能解决.因为利用普通数学知识,每座桥均走一次,这七座桥所有的走法一共有7!=5040种,实在难以一一尝试.这就是数学史上著名的哥尼斯堡七桥问题.1735年,有大学生写信给当时正在俄罗斯圣彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉,请他帮忙解决这一问题.
    欧拉首先将河的两岸与两个岛分别抽象成“点”,于是四大片土地成了四个点,然后将连接两岸与两岛的桥抽象成“线”,于是七座桥成了连接四个点的七条线,从而把七桥问题抽象成一个数学模型“连通网络”,即把一个实际问题转化为笔不离纸,能否一笔画成一个连通网络图的“一笔画”问题.
    欧拉不仅解决了此问题,且给出了可以一笔画的充要条件:是连通的,且奇点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文,由此开创了数学的一个新分支——图论与拓扑几何.
    可以说,抽象是数学的本质特征,没有抽象就没有数学,不仅数学概念、数学方法是抽象的,就连数学表达也是抽象的,大量地使用一系列的抽象符号.而且,数学还可以逐级、不断地抽象,后一次的抽象以前一次的抽象材料为其具体背景.
    因此,数学的抽象性与儿童思维的形象性,构成了小学数学教学的一对主要矛盾.好在数学的抽象又有十分现实的客观基础,为我们解决矛盾提供了条件.
    关于数学的客观基础及其抽象,恩格斯有过精辟的论述:“数和形的概念不是从其他任何地方,而是从现实世界中得来的.人们曾用来学习计数,从而用来作第一次算术运算的十个指头,可以是任何别的东西,但是总不是悟性的自由创造物……和数的概念一样,形的概念也完全是从外部世界得来的,而不是在头脑中由纯粹的思维产生出来的.必须先存在具有一定形状的物体,把这些形状加以比较,然后才能构成形的概念.纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料.这些材料以极度抽象的形式出现,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实.但是,为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系,必须使它们完全脱离自己的内容,把内容作为无关紧要的东西放在一边;这样,我们就得到没有长宽高的点,没有厚度和宽度的线……”作为数学教师,深刻理解数学的抽象与现实世界的关系,是非常有益的.
    2.严谨性
    数学的严谨性,主要表现在它的任何结论,都必须根据不讲自明的假设,严格按照逻辑推理规则,加以证明,不允许丝毫的主观臆断.例如:
    由“一千只苹果是红的”推出“苹果都是红的”,只是不完全归纳,所以结论不确定.
    由“小明哥哥已大学毕业”,“小明受教于同一老师”推出“小明也能大学毕业”,这是类比,结论同样不确定.
    由“人终将一死”,“约翰是人”推出“约翰会死”,这样的演绎推理,得到的结论才是确定无疑的.
    数学的严谨性与它的抽象性有密切关系.正是因为数学的高度抽象性,所以它的结论是否正确,不能像物理、化学那样,可以用实验确认,只能依靠严格的推理加以证明.
    数学的严谨,给我们带来的是它的结论的确定性、“可证伪性”.在数学领域内,对错分明,不至于公说公有理,婆说婆有理;更不像辩论赛,以抓阄限定自己的观点取向,最后获胜的居然是口才好的人,与观点本身正确与否关联度很小.
    有时数学的严谨还能让我们发现、确认一些意想不到的或者无法体验的事实.
    有这样一则故事.相传古印度人达依尔发明了国际象棋,当朝的国王十分高兴,决定重赏他.达依尔说,“我不要您的重赏,只要您能在我的棋盘上赏些麦子:在第1格放1粒,第2格放2粒,第3格放4粒,以后每格放的麦粒都比它前面一格多一倍,我只求能放满64格就行.”“几粒麦子,这有何难!”国王未加思考立刻答应.然而一打算兑现,国王便惊呆了.原来这些麦粒总数为G392W802.jpg,它们的体积有1.2×G392W804.jpg立方米,若把它们堆成高4米、宽10米的“麦墙”将有3×G392W803.jpg千米长,这大约是全球两千年所产小麦的总和,国王如何付得起?!
    貌不惊人的数,单凭直觉,无论如何也难以想象竟会大得如此不可思议!类似的经常被数学教师引用的例子还有:一张薄纸不断对折,30次后,纸叠得有多厚?答案是比珠穆朗玛峰还高!请看计算:
    设一张纸的厚度为0.1 mm,把它对折30次后,其厚度为G392W805.jpg×0.1 mm≈107374 m,比珠穆朗玛峰的高度8844.43 m,要高得多!
    也就是说,实验是无法对折30次的!
    再看一例.设想地球是一个表面光滑的球,有一条很长的绳子,恰好绕地球赤道(球的大圆)一周.如果把这根绳子再接长15 m,绕着赤道悬在空中,那么任何身高2.39m以下的人(姚明的身高也只有2.26m),都能从绳子圈下自由穿过.
    这个事实单凭经验想象,同样很难想通:地球半径那么大,绳子仅仅增长15米,居然就能处处离地球2.39米?然而严谨的数学计算可以告诉我们,这是千真万确、毋庸置疑的.
    设地球半径为r米,则绳子原长为2πr米,当绳长为(2π r+15)米时,绳子所围圆周半径的米数是(2πr+15)÷(2π)=r+2.39.可见,只要延长15米,绳的半径与地球半径之差就超过了姚明身高.又有谁能亲手去试验一下呢?
    也正是抽象基础上的严谨,使理性思维的主观能动性在数学中得到了充分的施展,以至于不少数学知识在初创阶段,经历了被人误解、鄙视甚至更为凄惨的遭遇.
    例如,相传第一位发现无理数的学者,因为不顾警告,泄漏了“边长为1的正方形,它的对角线不能表为两个整数之比”的“秘密”,招来了杀身之祸.
    又如,非欧几何的两位创始人罗巴切夫斯基和黎曼,一位被人视为“疯子”,一位英年早逝.他们的数学成就直到身后才为世人接受.爱因斯坦在创立广义相对论的过程中,很长时间苦于没有合适的数学模型,后来经友人提醒,在黎曼几何里找到了梦寐以求的数学工具.难怪爱因斯坦会惊呼:没想到我要的东西,数学家在几十年前就已经为我准备好了.
    当然,数学的严谨性也不是绝对的、一成不变的,而是相对的、发展的,体现了人类的认识逐渐深化的过程.一方面,在数学发展的历史进程中,严谨程度逐步得到加强.例如欧几里得的《几何原本》,曾被视为逻辑严密的典范,但后人发现其中还是存在着不严格,如某些概念的定义不明确,采用了本身应该定义的概念,又如证明过程常常依赖图形的直观等.另一方面,自哥德尔提出并证明了“不完备性定理”以后,人们认识到即使是公理化方法同样是有缺陷的.因此,数学的严谨性也具有相对性.
    尽管数学家的创造性工作成果是以严谨的推理论证形式给出的,但是数学的结论及其证明大多源于猜想,并且往往是通过合情推理发现的.所以,数学教学应当让猜想、合情推理占有适当的位置.特别是在小学数学教学中,必须处理好严谨与量力的关系.
    3.应用广泛性
    恩格斯在《自然辩证法》一书中写到“数学的应用在固体力学中是绝对的,在气体力学中是近似的,在液体力学中已经较困难了,在物理学中多半是尝试的和相对的,在化学中是最简单的一次方程,在生物学中等于零.”恩格斯当年所描述的状况早已成为历史.
    现在,数学的应用已经远远超出了人们的想象,正在不断突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透.用数学模型研究宏观经济与微观经济,用数学手段进行社会和市场调查与预测,用数学理论进行风险分析和指导金融投资,已被许多国家广泛采用.在经济与金融的理论研究上,数学的地位更加特殊.诺贝尔经济学奖的获得者当中,数学家或有研究数学的经历的经济学家占了一半以上.如今,从医学上的CT技术到印刷排版的自动化,从飞行器的模拟设计到指纹的识别,从石油地震勘探的数据处理到信息安全的保密技术等等,几乎所有形形色色的技术背后,数学都扮演着十分重要的角色.各行各业都在大量应用数学和计算机技术,通过数学建模、仿真等手段解决问题,并且把解决同类问题的方法和成果制作成软件,并广泛销售.
    马克思曾指出“一种科学只有当它达到了能够成功地运用数学时,才算真正发展了.”这是对数学作用的深刻理解,也是对科学发展数学化趋势的预测.随着科学技术的迅速发展和计算机的日益普及,人们对各种问题的要求越来越精确,使得数学的应用越来越广泛和深入,马克思的预见得到了证实.
    事实上,数学不仅在人类社会的各个领域得到广泛、深入的应用,在自然界数学同样无处不在.
    那些毫无智能的动物、植物,甚至低等生物,都会本能地进行奇特的数学“创造”.例如,圆形蜘蛛网就是一个简单漂亮的数学创造,若用数学方法分析这个美丽的结构,出现其中的数学概念是惊人的:半径、弦、平行线段、三角形、对数螺线、悬链线和无理数e等.
    又如蜜蜂营造的蜂房也是奇妙的数学创造.正面看去它是镶嵌得如此天衣无缝的正六角形,进一步的测量表明,蜂房的底都由三个全等的菱形组成,菱形的钝角都是109°28',锐角都是70°32',这不仅使蜂房的空间结构呈如此精美的几何形状,而且据巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格与苏格兰数学家马克劳林的理论计算,这种结构消耗最少的材料和最少的“工时”.蜜蜂没有学过镶嵌理论,也不知道计算最大值、最小值的方法,更不会求解含约束条件的最优解,但它却实实在在地进行了符合数学原理的工程技术创造.难怪黑格尔会说“数学是上帝描述自然的符号”.
    这些把自然界与数学联系起来的例证,让我们看到自然界充满着数学概念的实例.其实,这也就是数学之所以成为描述自然、解释自然现象的科学语言的原因.
    数学与自然的天然联系、数学在人们生活中的广泛应用,也为数学教学提供了许多生动、形象的载体.当然,对于小学数学教学来说,我们需要顺应儿童的认知发展,从联系儿童的生活开始,逐步扩大联系实际的范围.
    正是因为数学已经成为一种能够普遍实施的技术,所以培养学生应用数学的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面.
    最后再指出一点,数学的三个特点是互相联系、互相影响、密不可分的.抽象是数学的基础,严谨是数学可靠的保证,也恰恰是由于数学超脱具体内容的抽象与严格的论证,才决定了数学的广泛应用性.爱因斯坦说得好:“为什么数学比其他一些科学受到特殊的尊重,一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的,而且不像其他科学的命题经常处于会被新发现的事实推翻的危险境地之中……还有另一个理由,那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性,没有数学,这些科学是达不到这样的可靠性的.”也就是说,数学的三个特点应当整体认识、全面把握.
    以上所讨论的,无论是数学的内涵、数学的文化,还是数学的特点,值得论述的、有利于改进小学数学教学的内容还有很多,限于篇幅,只能由读者举一反三了.^