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一个简单不等式的引申

作者:鸿运手机版登陆 更新时间:2015年10月26日 21:04:51

摘 要:本文系统揭示各级各类数学竞赛中一类分式不等式的命题背景和解决办法。

关键词:数学竞赛;分式不等式;命题背景;解题办法
很多相关的学习资料上有这样一个题:若,,求证: 。此不等式的证明很容易, 中间展开,利用排序不等式简单处理即可得证,相信多数学生都会。现把这个不等式进行变形:,再把结论推广就得多数学生不是很熟悉的著名的切比雪夫不等式:
  定理1:设有两个有序实数组:,,则:
    (反序和)(同序和),
当且仅当任意或任意时,等号成立。由此定理可得:
  推论1:若,,则:
,当且仅当任意时,等号成立。
  证明:已知条件可变为:,,由定理1得,由正数(i=1、2……n)的均值不等式H(n)A(n)得:
,得,所以:·
即,当且仅当时,等号成立。
  数学命题是将简单的、基本的事实逐步演绎成复杂的、非平凡的问题,而数学解题则刚好相反,即把复杂问题逐步化归转变为简单问题。这样各类数学竞赛中就频频出现以推论1为背景的分式不等式问题,现部分举例如下:
  例1:对任意正数、……,,,求证:
         (1976年英国数学竞赛题)
  证明:由于、、……、对称,不妨设:,则
,由推论1得:=
=,当且仅当时,等号成立。现对例1稍作改装:
  例2:已知:对任意正数、……,,,求证:
 (1994年《数学通报》第11期925号问题)
  证明:由于、、……、对称,不妨设:,则
,,由推论1得:
=,因为,,利用定理1得=,所以=
= , 当且仅当时,等号成立。再对例2稍作改装
  例3:对任意正数、……,,且,求证:
………(1)
  证明:由于、……对称,不妨设:,则:
。又因为;;……;
则也有:0<…,由推论1得:(1)的左边
=
同例2一样,使用定理1若干次得:
……=,因此(1)的左边
,当且仅当时,等号成立。这样
当m=3时,即得第28届IMO预选题,例4:设、、是三角形的三边, ,
  例5:设、、为正实数,且,证明
………(2)   (第36届IMO试题)
  证明:
  不妨设>0,则有>0;也有0<abc ,从而0<由推论1得:(2)式左边
,由定理1,
则(2)式左边=
因为,所以(2)式左边==
=,当且仅当时,等号成立。
  以上都是分子、分母都能分别排序的且分式字母满足“F(x、y、z)=0”条件的分式不等式问题,对于分子、分母能排序的分式非条件不等式问题,推论1同样有效。
  例6:已知、、 是正数,求证…(3)
(2005年塞尔维亚奥林匹克试题)
  证明:由于、、对称,不妨设:,则:0<即0<,由推论1得不等式(3)的左边
=,由幂平均不等式有:
=,所以
,因此:不等式(3)的左边
=,当且仅当时,等号成立。
   参考文献:
   [1]朱华伟. 从数学竞赛的竞赛数学[M]?,北京 科学出版社,2009
   [2]陈传理.张同君. 竞赛数学教程[M],北京 高等教育出版社,1996